Exercícios

01. (EUMT - LONDRINA) O volume de ar contido em um galpão com a forma e as dimensões dadas pela figura

abaixo é:

a) 300 b) 240 c) 225 d) 210 e) 180

RESPOSTA: B

02. (FEI - MAUÁ) Secciona-se uma pirâmide regular de altura h por um plano paralelo à base, a uma distância x do

vértice. Pede-se x de modo que a áreas laterais da pirâmide se altura x e do tronco de pirâmide de altura h -

x sejam iguais.

03. (MAUÁ) Dado o Tetraedro de aresta L, determine, em função de L, o volume V do cone circular circunscrito,

isto é, do cone que tem vértice do Tetraedro e base circunscrita à face do Tetraedro.

RESOLUÇÃO:

04. (MAUÁ) Dado um Tetraedro regular de aresta L, determine, em função de L, a área lateral A do cilindro reto

circunscrito, isto é, do cilindro que tem uma base circunscrevendo uma face do Tetraedro e altura igual à

altura do Tetraedro.

RESOLUÇÃO:

05. (LONDRINA) O tetraedro regular ABCD tem centro O. O ângulo diedro de faces OAB e OAC mede:

a) 30°

b) 60°

c) 120°

d) 135°

e) 150°

RESPOSTA: D

06. (SJRP - JUNDIAI) Os vértices de um tetraedro regular de volume 1m³ são centros das faces de outro tetraedro

regular. O volume deste outro tetraedro vale:

a) 1 m³

b) 3m³

c) 9m³

d) 27m³

e) 81m³

RESPOSTA: D

07. (MAUÁ) Na pirâmide VABC os ângulos AVB, BVC e CVA são retos. Calcular a distância de V ao Plano

ABC sabendo-se que VA = VB = VC = 1m.

RESOLUÇÃO:

08. (OSEC) Um prisma e uma pirâmide tem bases com a mesma área. Se o volume do prisma é o dobro do volume

da pirâmide, a altura da pirâmide será:

a) O triplo da do prisma.

b) O dobro da do prisma.

c) O triplo da metade da do prisma.

d) O dobro da terça parte da do prisma.

e) n.d.a

RESPOSTA: C

09. (UnB) Sejam P_i e P₂ duas pirâmides de mesma altura. A base de P_i é um quadrado e a de P₂ um triângulo de

área igual a do quadrado. Então, a área lateral de P_i é:

a) sempre maior do que a de P₂;

b) sempre menor do que a de P₂;

c) sempre igual a de P₂;

d) n.d.a.

RESPOSTA: D

Pirâmide

Dados um polígono convexo R, contido em um plano , e um ponto V ( vértice) fora de , chamamos de pirâmide o conjunto de todos os segmentos

Elementos da pirâmide

Dada a pirâmide a seguir, temos os seguintes elementos:

• base: o polígono convexo R
• arestas da base: os lados do polígono
• arestas laterais: os segmentos
• faces laterais: os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE, VEA
• altura: distância h do ponto V ao plano

Classificação

Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro do polígono da base.

Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome de pirâmide regular. Ela pode ser triangular, quadrangular, pentagonal etc., conforme sua base seja, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero, um pentágono etc.

Veja:

Observações:

1ª) Toda pirâmide triangular recebe o nome do tetraedro. Quando o tetraedro possui como faces triângulos eqüiláteros, ele é denominado regular ( todas as faces e todas as arestas são congruentes).

2ª) A reunião, base com base, de duas pirâmides regulares de bases quadradas resulta num octaedro. Quando as faces das pirâmides são triângulos eqüiláteros, o octaedro é regular.

Secção paralela à base de uma pirâmide

Um plano paralelo à base que intercepte todas as arestas laterais determina uma secção poligonal de modo que:

• as arestas laterais e a altura sejam divididas na mesma razão;
• a secção obtida e a base sejam polígonos semelhantes;

as áreas desses polígonos estejam entre si assim como os quadrados de suas distâncias ao vértice

Relações entre os elementos de uma pirâmide regular

Vamos considerar uma pirâmide regular hexagonal, de aresta lateral l e aresta da base a:

Assim, temos:

• A base da pirâmide é um polígono regular inscritível em um círculo de raio OB = R.

• A face lateral da pirâmide é um triângulo isósceles.

• Os triângulos VOB e VOM são retângulos.

Áreas

Numa pirâmide, temos as seguintes áreas:

a) área lateral ( A_L): reunião das áreas das faces laterais

b) área da base ( A_B): área do polígono convexo ( base da pirâmide)

c) área total (A_T): união da área lateral com a área da base

A_T = A_L +A_B

Para uma pirâmide regular, temos:

em que:

Volume

O princípio de Cavalieri assegura que um cone e uma pirâmide equivalentes possuem volumes iguais:

Troncos

Se um plano interceptar todas as arestas de uma pirâmide ou de um cone, paralelamente às suas bases, o plano dividirá cada um desses sólidos em dois outros: uma nova pirâmide e um tronco de pirâmide; e um novo cone e um tronco de cone.

Vamos estudar os troncos.

Tronco da pirâmide

Dado o tronco de pirâmide regular a seguir, temos:

· as bases são polígonos regulares paralelos e semelhantes;

· as faces laterais são trapézios isósceles congruentes.

Áreas

Temos as seguintes áreas:

a) área lateral (A_L): soma das áreas dos trapézios isósceles congruentes que formam as faces laterais

b) área total (A_T): soma da área lateral com a soma das áreas da base menor (A_b) e maior (A_B)

AT =AL+AB+Ab

_Volume

O volume de um tronco de pirâmide regular é dado por:

Sendo V o volume da pirâmide e V' o volume da pirâmide obtido pela secção é válida a relação: